MATEMÁTICAS APLICADAS: II.4 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

En esta unidad se abordarán las Aplicaciones de la Integral Definida en la obtención de áreas bajo la curva de funciones y el cálculo de volúmenes de sólidos en revolución.
En los siguientes videos se explica a detalle el procedimiento.
Visita el Blog "Mi Curso de Cálculo Integral" en el que se presentan los diversos casos y situaciones para el cálculo de áreas con la Integral Definida.
Copia en tus apuntes los ejemplos que se muestran en los videos.

Cálculo de áreas bajo la curva de una Función

Integral definida aplicada al MRU Y MRUA

Volúmenes de Sólidos en Revolución

Volumen de una Esfera

Aplicaciones a la Administración y la Economía

Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad.

Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.

Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente.

Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.

A esta función la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

EJEMPLO

Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) =

. Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.

Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) =

= 12 pesos.

La ganancia o superávit de los productores se calcula resolviendo:

Ganancia de las productores =

= 25

La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos.

EN FÍSICA

ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) =

De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene:

= s(t₂) - s(t₁)

La posición del objeto en el instante t₁está expresada por s(t₁) y s(t₂) es la posición en el instante t₂, la diferencia s(t₂) - s(t₁) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t₁, t₂].

Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t₂que en el instante t₁, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo el intervalo de tiempo [t₁, t₂], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t₂) - s(t₁) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t₂) - s(t₁) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t₁, t₂], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:

distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t₁, t₂]