MATEMÁTICAS APLICADAS: II.3. MODELACIÓN: APLICACIÓN DE LA DERIVADA

PROBLEMARIO III

Introducción

En el estudio del Cálculo Diferencial es primordial el concepto de variación o cambio continuo.

A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones.

El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento.

Muchos de los aspectos de la vida diaria como los de las ciencias y las ingenierías tienen que ver con el cambio de las cosas y, en especial, con el cambio de una variable con relación a otras.

Las aplicaciones de la derivada en diversos campos pueden clasificarse en dos grupos:

a) La derivada como índice matemático

Expresa la tasa de variación o razón de cambio. En distintas disciplinas como Electricidad , Electrónica , Termodinámica , Mecánica , Economía , Biología , etc , resulta de importancia fundamental no sólo saber que determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra , sino conocer cuán rápido se produce esa variación.

En Física la velocidad de un automóvil representa la razón de cambio (derivada) de su posición con respecto al tiempo, la rapidez instantánea de un móvil se define como la derivada de la función espacio recorrido, y la aceleración como derivada de la velocidad.

b) La derivada en Optimización de Funciones

Los problemas llamados de optimización, desde el punto de vista matemático se reducen a problemas de determinación de máximos y mínimos absolutos de funciones de una variable real en determinados intervalos.

A una empresa de transporte seguramente le interesa que el costo por kilómetro de sus viajes sea el menor posible.

A un fabricante de determinado artículo le interesará que el costo de fabricación por unidad sea el más bajo posible.

En Electrotecnia, interesará cómo diseñar determinado dispositivo para que su consumo de energía sea mínimo.

Una empresa de construcción le interesará cómo dimensionar un silo para grano para que el costo de la construcción sea el más bajo posible. Y a un vendedor se interesará cuál es el precio de venta de su producto para obtener el mayor beneficio posible.

II.3.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS (EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN)

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Cuando evaluamos una función f(x) se localizan en la gráfica los puntos que describen el comportamiento de la función, cuando se evalúa la derivada f’(x), los puntos que se obtienen representa la pendiente de la recta en ese punto.

Se quiere calcular la pendiente de la recta tangente (Toca en 1 solo punto) de la función f(x), en cualquier punto de ella :

Como en cada punto de una curva f(x) existe una única recta tangente, entonces podemos pensar que para cada valor (x0,x1,x2,etc.) de este punto, la pendiente representa una "altura" para el mismo.

Es decir, podemos construir una nueva función representativa de éstas. Esta función se llamará Función Derivada f'(x).

En resumen : "De la pendiente de una función f(x) (azul) se obtiene la altura de la grafica de la derivada f’(x) (rosa) “

Para comprender los puntos críticos: puntos de inflexión, máximos y mínimos es importante conocer las gráficas de las funciones polinomiales como se muestra en el video a continuación